Geometría variable


Felipe E. Ramirez PhD – 06.2021

Madrid variable. (Madrid) – FRM 2019.

No soporto la invasión de competencias, el intrusismo, sea del tipo del que sea, incluido el puramente semántico. Son ya algunas las entradas que dedico en este blog a mostrar cómo los políticos conjugan de forma errónea los verbos matemáticos.

Hoy me gustaría referirme a todo un “clásico” en los mensajes de políticos que son matemáticamente aberrantes. Se trata de la expresión “geometría variable” que seguro todos los lectores recuerdan haber oído alguna vez en los últimos ¿años? pronunciado por algún representante de la soberanía popular de cualquier signo, porque en esto de las falsas metáforas matemáticas no existe el color.

La expresión resuena en los labios de los más cultos ponentes políticos: introducir el término “geométrico” en el lenguaje de las ideologías, las leyes, las normas o los discursos eleva sin duda el cariz del mismo. Es lo que yo denomino el  Mathematical Power que debería patentarse, si no lo está ya.

El silogismo parece sencillo: si la ciencia obedece los dictados de las matemáticas ¿por qué no hacerlo con la política?. Así “La correlación de fuerzas lleva a un contexto de geometría variable”, “El Sr Presidente [de algo] juega con la geometría variable”, “Nuestra propuesta obedece a una geometría variable” o  “Los resultados electorales obligan a que el vencedor deba usar la geometría variable…”.

Es una tomadura de pelo a la Geometría y a la Variabilidad.

Las geometrías

Mis lectores saben que soy matemático, las enseño. Estudié Matemáticas Fundamentales, vamos, la Teoría dentro del Universo de las Teorías. Conozco y he estudiado muchas Geometrías:

axiomática, lineal, afín, hiperbólica, elíptica, euclídea, algebraica, vectorial, diferencial, proyectiva, sintética, métrica, topológica, compleja, intuitiva, intrínseca o fractal

pero en mi catálogo no existe eso de Geometría Variable

Aunque creo saber aquello a lo que los intelectualmente audaces políticos se refieren cuando pronuncian las palabras mágicas. Qué digo audaces, atrevidos, porque

la audacia no va acompañada de la ignorancia, pero el atrevimiento suele ser fruto del desconocimiento.

Los políticos toman prestada una referencia matemática para dignificar su mensaje, cuando sólo quieren decir, que

“[…] el Ejecutivo actuará y se coaligará, según las circunstancias“.

Verán por qué suena ridícula la expresión en boca de un político. Por que ¿qué es la geometría variable?

El espacio en unas pocas líneas

El espacio o la concepción que de él disponemos, nos gusta que sea isotrópico: idéntico en cualquier lugar, sin direcciones privilegiadas. En ese universo, se usan las mismas reglas de medir con independencia del lugar en el que un observador se encuentre: usará siempre los mismos trasportadores de ángulos, su escuadra y su cartabón en todos los lugares serán los mismos para medir el espacio y conocerlo en alguno de sus aspectos. Es Geometría No Variable.

Este es el espacio más sencillo que imaginamos. Es lineal. Es el espacio de Euclides o de Newton. Pero hay otros tipos de espacios: los espacios curvos.

Ya empezamos -dirá el lector- con las curvaturas espaciales. Tranquilidad, para entender la idea basta con visualizarlo en dos dimensiones. En tres le costaría más imaginarlo y la idea es la misma. (¡Total, una dimensión más!)

Geometrías locales

Imaginemos una silla de montar a caballo de cuero bruñido y delgada como una hoja de papel.   Su forma es una superficie que los matemáticos adoramos por muchas y muchas de sus propiedades, lo llamamos paraboloide hiperbólico.

En cada punto de dicho espacio –como es suave- construimos un plano tangente, como en las obras, un armazón plano. Y con ese plano, si habitáramos alrededor de ese punto, nuestra medida de él sería isotrópica, igual en todas partes.

Paraboloide hiperbólico

Omitamos el exterior de la silla de montar. Seamos un punto C del cuero de la ensilladura. C no puede ni pensar en los planos tangentes, porque éstos se extienden en el espacio exterior de la silla de montar, un espacio inimaginable para C. Cuando C se uniera por el camino más corto con otros puntos de la misma silla, no lo haría a través de rectas sino de curvas; si lo piensas, no tiene sentido hablar de “rectas” en el seno de la montura. Pero los matemáticos descubrimos que hay trayectorias que son las más cortas a lo largo de una superficie curva: las llamamos geodésicas.

De algún modo la geometría de la silla de montar es variable. Aun así, la regularidad de dicha superficie lleva a que en puntos diferentes la “geometría local” se comporte de modo similar. Por ejemplo, el tipo de curvatura que medirían sus habitantes si pudieran hacerlo, del espacio que se halla a su alrededor sería la misma.

Las escaleras de caracol no son así porque sí: son geodésicas de un cilindro que es la torre por la que se asciende.

Escalera de la torre del faro del cabo de la Nao. (Alicante). LolitaBrain 2017

Así que aquí tenemos un caso de cierta geometría variable. Podríamos estar tentados a reconocer que:

Si el universo es curvo, ¿no puede ser isotrópico.? ¿O sí?


[Paciencia pido al lector en este punto que seguir leyendo más no quiere]

Es decir, ¿es posible encontrar superficies isotrópicasiguales en todos las direcciones- pero curvadas, de modo que en cualquier lugar encontraríamos las mismas propiedades geométricas. La respuesta es sencilla: pues claro, vivimos en una Tierra esférica y por tanto todos sus trozos son equivalentes:

si se recorta un trozo cualquiera de una pelota de playa, se podrá colocar en cualquier otro lugar de la misma.

Todos los puntos de la pelota se comportan de igual forma.

La razón de esto es que la curvatura de la esfera es constante en todos sus puntos. De modo que, aunque la geometría local de cada punto es peculiar, en el fondo es la misma en todos ellos.

Si una superficie manifiesta regularidades, patrones o simetrías o es rectificable o es de algún modo geométricamente homogénea, es decir presenta curvaturas constantes en algunas direcciones, las geodésicas son curvas de tipos parecidos en todos sus puntos. En un cono, un cilindro o un donut, sabemos cuáles son las rectas que determinan la geometría de cada punto. Y no depende del punto.  

A finales del siglo XIX el genial B. Riemann tomó clara conciencia del significado estas ideas que esbozadas aquí toscamente parecen sencillas. Su tesis la explicó nada menos que ante G.F. Gauss, su director; sólo de pensarlo asusta. Porque es el mismo Gauss que había determinado como calcular la curvatura de una superficie desde ella misma, sin salir al exterior para medirla; es lo que llamamos su geometría intrínseca.

Pero la creación de Riemann –entre otros atributos- era sorprendente: encontró los mecanismos para estudiar el comportamiento local de cualquier tipo de superficie, regular o no.

Se definió lo que podemos denominar una geometría riemanniana diferencial local sobre una idea sencilla, audaz y temible: tómese un punto y las matemáticas le proporcionan las reglas para que mida en su derredor; será una geometría igual en cuanto a las leyes Globales, pero con identidad particular en cada punto. 

Y salvo para los matemáticos las cosas quedaron ahí. Pero unos treinta años después de que Riemann leyera su tesis, nació un niño llamado Albert, de apellido Einstein que con el tiempo sería el físico que vino a revolucionarlo todo. Lo curioso es que cuando Albert solicitó un modelo geométrico en el que sus ecuaciones físicas pudieran tener sentido, encontró que ya existía desde hacía años: el modelo buscado se hallaba en la geometría de Riemann: era el perfecto acomodo para dar forma a su teoría.

La auténtica geometría variable

Según la Relatividad General -no es menester ahora introducir el famoso tiempo – el Universo es lo más alejado a la isotropía que pueda imaginarse.  La forma del universo, el modo en el que se curva, como la silla de montar, viene determinada por la masa que se acumula en cada lugar del espacio, es decir por la Gravedad. La existencia de la masa altera la forma del espacio. Y es esta forma la que determina su Geometría. Este espacio no puede disponer de leyes idénticas en todos sus puntos, pero por supuesto obedecen a las mismas Leyes Generales que los Humanos hemos descubierto hasta la fecha.

Así pues, es la Relatividad General la que nos lleva al concepto físico de una Geometría Variable

De modo que cuando oiga a un político hablar de geometría variable, piense que sólo se refiere a la posibilidad de realizar pactos a ambos lados de su eje político según la conveniencia del momento. Nada más.

Por favor, no usen las Matemáticas para las trivialidades.
Así que cuando oiga a un político hablar de geometría variable, piense que sólo se refiere a la posibilidad de realizar pactos a ambos lados de su eje político según la conveniencia del momento. Nada más.

la discontinuidad

La Naturaleza no hace saltos

La sabiduría aristotélica ya determinó que el Universo debía ser continuo. La continuidad es uno de los conceptos matemáticos más valiosos que se han formalizado. La continuidad nos da confianza en nuestros procedimientos de medida que no tienen saltos sino aproximaciones. I. Newton y G. Leibniz aceptaron esta norma que es fundamental para dar sentido a su cálculo infinitesimal garantizando el comportamiento adecuado de los infinitésimos, cantidades arbitrariamente pequeñas.
Era impensable que la Naturaleza diera saltos. Tras largos y profundos debates, los matemáticos consiguieron formalizar este concepto gracias al trabajo de muchos, como el del gran organizador que fue A. Cauchy. El espeluznante genio de G. Cantor trajo el desasosiego en el universo matemático: su Hipótesis del Continuo es origen de amplios debates en el seno de la filosofía, la lógica y la meta-matématica.

La mecánica cuántica dio al traste con la continuidad del Universo. Para explicar el universo atómico debemos aceptar que las partículas subatómicas se mueven sin pasar por todos los puntos intermedios, dicho de forma coloquial. El denominado salto cuántico que originó entre otras, una larga y encarnizada discusión entre N. Bohr y A. Einstein viene a decir que en el seno de un átomo los electrones son mágicos: “ahora los ves, ahora no los ves“.

.