Geometría variable


Felipe E. Ramirez PhD – 06.2021

Madrid variable. (Madrid) – FRM 2019.

No soporto la invasión de competencias, el intrusismo, sea del tipo del que sea, incluido el puramente semántico. Son ya algunas las entradas que dedico en este blog a mostrar cómo los políticos conjugan de forma errónea los verbos matemáticos.

Hoy me gustaría referirme a todo un “clásico” en los mensajes de políticos que son matemáticamente aberrantes. Se trata de la expresión “geometría variable” que seguro todos los lectores recuerdan haber oído alguna vez en los últimos ¿años? pronunciado por algún representante de la soberanía popular de cualquier signo, porque en esto de las falsas metáforas matemáticas no existe el color.

La expresión resuena en los labios de los más cultos ponentes políticos: introducir el término “geométrico” en el lenguaje de las ideologías, las leyes, las normas o los discursos eleva sin duda el cariz del mismo. Es lo que yo denomino el  Mathematical Power que debería patentarse, si no lo está ya.

El silogismo parece sencillo: si la ciencia obedece los dictados de las matemáticas ¿por qué no hacerlo con la política?. Así “La correlación de fuerzas lleva a un contexto de geometría variable”, “El Sr Presidente [de algo] juega con la geometría variable”, “Nuestra propuesta obedece a una geometría variable” o  “Los resultados electorales obligan a que el vencedor deba usar la geometría variable…”.

Es una tomadura de pelo a la Geometría y a la Variabilidad.

Las geometrías

Mis lectores saben que soy matemático, las enseño. Estudié Matemáticas Fundamentales, vamos, la Teoría dentro del Universo de las Teorías. Conozco y he estudiado muchas Geometrías:

axiomática, lineal, afín, hiperbólica, elíptica, euclídea, algebraica, vectorial, diferencial, proyectiva, sintética, métrica, topológica, compleja, intuitiva, intrínseca o fractal

pero en mi catálogo no existe eso de Geometría Variable

Aunque creo saber aquello a lo que los intelectualmente audaces políticos se refieren cuando pronuncian las palabras mágicas. Qué digo audaces, atrevidos, porque

la audacia no va acompañada de la ignorancia, pero el atrevimiento suele ser fruto del desconocimiento.

Los políticos toman prestada una referencia matemática para dignificar su mensaje, cuando sólo quieren decir, que

“[…] el Ejecutivo actuará y se coaligará, según las circunstancias“.

Verán por qué suena ridícula la expresión en boca de un político. Por que ¿qué es la geometría variable?

El espacio en unas pocas líneas

El espacio o la concepción que de él disponemos, nos gusta que sea isotrópico: idéntico en cualquier lugar, sin direcciones privilegiadas. En ese universo, se usan las mismas reglas de medir con independencia del lugar en el que un observador se encuentre: usará siempre los mismos trasportadores de ángulos, su escuadra y su cartabón en todos los lugares serán los mismos para medir el espacio y conocerlo en alguno de sus aspectos. Es Geometría No Variable.

Este es el espacio más sencillo que imaginamos. Es lineal. Es el espacio de Euclides o de Newton. Pero hay otros tipos de espacios: los espacios curvos.

Ya empezamos -dirá el lector- con las curvaturas espaciales. Tranquilidad, para entender la idea basta con visualizarlo en dos dimensiones. En tres le costaría más imaginarlo y la idea es la misma. (¡Total, una dimensión más!)

Geometrías locales

Imaginemos una silla de montar a caballo de cuero bruñido y delgada como una hoja de papel.   Su forma es una superficie que los matemáticos adoramos por muchas y muchas de sus propiedades, lo llamamos paraboloide hiperbólico.

En cada punto de dicho espacio –como es suave- construimos un plano tangente, como en las obras, un armazón plano. Y con ese plano, si habitáramos alrededor de ese punto, nuestra medida de él sería isotrópica, igual en todas partes.

Paraboloide hiperbólico

Omitamos el exterior de la silla de montar. Seamos un punto C del cuero de la ensilladura. C no puede ni pensar en los planos tangentes, porque éstos se extienden en el espacio exterior de la silla de montar, un espacio inimaginable para C. Cuando C se uniera por el camino más corto con otros puntos de la misma silla, no lo haría a través de rectas sino de curvas; si lo piensas, no tiene sentido hablar de “rectas” en el seno de la montura. Pero los matemáticos descubrimos que hay trayectorias que son las más cortas a lo largo de una superficie curva: las llamamos geodésicas.

De algún modo la geometría de la silla de montar es variable. Aun así, la regularidad de dicha superficie lleva a que en puntos diferentes la “geometría local” se comporte de modo similar. Por ejemplo, el tipo de curvatura que medirían sus habitantes si pudieran hacerlo, del espacio que se halla a su alrededor sería la misma.

Las escaleras de caracol no son así porque sí: son geodésicas de un cilindro que es la torre por la que se asciende.

Escalera de la torre del faro del cabo de la Nao. (Alicante). LolitaBrain 2017

Así que aquí tenemos un caso de cierta geometría variable. Podríamos estar tentados a reconocer que:

Si el universo es curvo, ¿no puede ser isotrópico.? ¿O sí?


[Paciencia pido al lector en este punto que seguir leyendo más no quiere]

Es decir, ¿es posible encontrar superficies isotrópicasiguales en todos las direcciones- pero curvadas, de modo que en cualquier lugar encontraríamos las mismas propiedades geométricas. La respuesta es sencilla: pues claro, vivimos en una Tierra esférica y por tanto todos sus trozos son equivalentes:

si se recorta un trozo cualquiera de una pelota de playa, se podrá colocar en cualquier otro lugar de la misma.

Todos los puntos de la pelota se comportan de igual forma.

La razón de esto es que la curvatura de la esfera es constante en todos sus puntos. De modo que, aunque la geometría local de cada punto es peculiar, en el fondo es la misma en todos ellos.

Si una superficie manifiesta regularidades, patrones o simetrías o es rectificable o es de algún modo geométricamente homogénea, es decir presenta curvaturas constantes en algunas direcciones, las geodésicas son curvas de tipos parecidos en todos sus puntos. En un cono, un cilindro o un donut, sabemos cuáles son las rectas que determinan la geometría de cada punto. Y no depende del punto.  

A finales del siglo XIX el genial B. Riemann tomó clara conciencia del significado estas ideas que esbozadas aquí toscamente parecen sencillas. Su tesis la explicó nada menos que ante G.F. Gauss, su director; sólo de pensarlo asusta. Porque es el mismo Gauss que había determinado como calcular la curvatura de una superficie desde ella misma, sin salir al exterior para medirla; es lo que llamamos su geometría intrínseca.

Pero la creación de Riemann –entre otros atributos- era sorprendente: encontró los mecanismos para estudiar el comportamiento local de cualquier tipo de superficie, regular o no.

Se definió lo que podemos denominar una geometría riemanniana diferencial local sobre una idea sencilla, audaz y temible: tómese un punto y las matemáticas le proporcionan las reglas para que mida en su derredor; será una geometría igual en cuanto a las leyes Globales, pero con identidad particular en cada punto. 

Y salvo para los matemáticos las cosas quedaron ahí. Pero unos treinta años después de que Riemann leyera su tesis, nació un niño llamado Albert, de apellido Einstein que con el tiempo sería el físico que vino a revolucionarlo todo. Lo curioso es que cuando Albert solicitó un modelo geométrico en el que sus ecuaciones físicas pudieran tener sentido, encontró que ya existía desde hacía años: el modelo buscado se hallaba en la geometría de Riemann: era el perfecto acomodo para dar forma a su teoría.

La auténtica geometría variable

Según la Relatividad General -no es menester ahora introducir el famoso tiempo – el Universo es lo más alejado a la isotropía que pueda imaginarse.  La forma del universo, el modo en el que se curva, como la silla de montar, viene determinada por la masa que se acumula en cada lugar del espacio, es decir por la Gravedad. La existencia de la masa altera la forma del espacio. Y es esta forma la que determina su Geometría. Este espacio no puede disponer de leyes idénticas en todos sus puntos, pero por supuesto obedecen a las mismas Leyes Generales que los Humanos hemos descubierto hasta la fecha.

Así pues, es la Relatividad General la que nos lleva al concepto físico de una Geometría Variable

De modo que cuando oiga a un político hablar de geometría variable, piense que sólo se refiere a la posibilidad de realizar pactos a ambos lados de su eje político según la conveniencia del momento. Nada más.

Por favor, no usen las Matemáticas para las trivialidades.
Así que cuando oiga a un político hablar de geometría variable, piense que sólo se refiere a la posibilidad de realizar pactos a ambos lados de su eje político según la conveniencia del momento. Nada más.

just some light dots

Piedra marina (Costa da Morte. 2019). FRM.
Amanece en Fort-Sand (Arizona. 2019) Picture from ISS

mirar el universo siempre nos perturba.

lo lejano se hace cercano y lo cercano se aleja de nuestros ojos.

no siempre resulta sencillo distinguir lo inmenso de lo minúsculo.

sin referencias, nuestro mundo sensorial se viene abajo.

continous chimneys

Near Bridgewater Canal (Manchester. 2018). Lolita Brain.

¿por qué obstinarnos en normalizar la realidad cuando ella aprovecha cada posibilidad para transmutarse?

Las viejas y erectas chimeneas de la próspera e industrial Manchester se comban, cimbrean y deforman bajo el efecto de la luz sobre planos especulares.

Encuentran así un modo de cambiar a pesar de parecer inertes.

Sólo lo medible es alcanzable


Felipe E. Ramirez PhD – 06.2021

Este artículo está dedicado a la frase que le da título y que pronunció el Presidente del Gobierno de España en mayo de 2021 en la presentación de la Agenda España 2050. La frase pasó sin que los medios se hicieran eco de su significado profundo. Probablemente porque no dejaba de ser un enunciado más en un discurso de autobombo político. Pero es una frase muy interesante que no debe tomarse a la ligera.  Aquí va un comentario científico a la aseveración de otro político que se sumerge en los mares de la ciencia

Lo que P.S. dijo

La sentencia presidencial se pronunció en un acto público dedicado a exponer las líneas maestras de la política española con el objetivo de alcanzar una serie de metas dentro de treinta años: Agenda 2050.  Con ella el Presidente quería incidir en la necesidad de analizar, contrastar, meditar, sopesar, proponer, evaluar etc. lo que se desea proyectar a futuro si se tiene voluntad de alcanzarlo.

Lo medible y lo alcanzable


Alcanzar es un término que usamos en matemáticas con mucha frecuencia, especialmente desde que existe el cálculo infinitesimal. Es un verbo que nos gusta porque alude a la posibilidad de estar cerca, tan cerca cómo sea deseable de algo aunque se conozca de antemano la imposibilidad de alcanzarlo efectivamente. En matemáticas hemos aprendido hace mucho a estar próximos a un punto geométrico, a un número o a una curva. Estas entidades inalcanzables son de una u otra forma singularidades: monstruos que devoran lo que recorre sus cercanías. A menudo la realidad se obstina en no desvelarse por completo y nuestro conocimiento sólo puede ser aproximado; nuestra virtud es que somos capaces de estimar y precisar el error

Somos capaces de cuantificar lo cerca que nos encontramos de un valor numérico necesario para algún cálculo. Nos encanta ayudar a otros científicos a que pongan cota, a que limiten el valor de un determinado error para poder evaluar su influencia en el resultado esperado.

Así ensoñamos que controlamos el error.

La física nos proporciona un magnífico ejemplo. Como sabemos desde Einstein (1905), la velocidad de la luz (c) es un límite a la velocidad de todo objeto en el Universo. No sabemos nada de la velocidad de los no objetos.

Nada puede viajar a mayor velocidad que la luz.

Si aceptamos la Relatividad y sus ecuaciones, alcanzar dicha velocidad es ontológicamente imposible, ya que sabemos que la masa del cohete aumenta sin cesar, mientras su longitud se acorta cada vez más al acercarse a c.

Así pues, podemos medir con una precisión exquisita la velocidad a la que se propaga la luz, pero no podemos alcanzar dicho valor. Esto es un ejemplo de que no hay garantía de alcanzar algo por el hecho de haberlo medido.

Hace más de 2500 años el pitagórico Hipaso de Metaponto, descubrió la irracionalidad de raíz de 2 (√2); abrió la caja de los truenos. El Hombre fue consciente de que parte de la realidad era inalcanzable para su mente, que la realidad no se deja aprehender, así como así. La irracionalidad de un número nos dice que es imposible tenerlo todo él; sólo podemos tener al número en potencia, pero no en acto ya que se nos prohíbe acceder a todos los misterios que encierran sus infinitas cifras decimales. Así que no nos queda otro remedio que acercarnos a su auténtico valor a sabiendas de que será una misión fracasada en su inicio.

Este es el segundo contraejemplo a la aseveración del Presidente: raíz de dos es medible, construible con regla y compás, localizable en una recta, pero es inalcanzable.

Vemos por tanto que existen entidades que medimos, pero que no alcanzamos.

Pero es que hay otras que alcanzamos sin haberlas medido. La Humanidad alcanzó América sin tener ni idea de las medidas reales ni de los océanos ni los continentes. 

La famosa Ley de Gravitación Universal de Newton estuvo coja durante muchos años porque no se disponía del valor de la constante de Gravitación Universal G, crucial para usar la ley con todo su poder. Así pues, fuimos capaces de alcanzar resultados asombrosos que quedaban manifiestos en la ley de Newton sin haber medido G. No es una excepción.

Otro caso. El área que queda bajo una campana de Gauss mide exactamente una unidad de superficie, pero es una superficie inalcanzable porque es una región infinita. Disponemos pues de la medida, pero no de la capacidad de alcanzar el objeto medido. 

Si para los humanos los límites de la realidad dependieran de lo que es o no es medible para de esa forma desterrar lo no medible por inalcanzable, la Humanidad habría estado en un largo letargo rodeado de universos desconocidos.

Epílogo

Podemos humildemente corregir al Presidente y proponer que la medida ni es suficiente ni es necesaria para alcanzar algo.  Es una ayuda más, pero sólo eso. Medir nos allana el camino para alcanzar objetivos, pero no nos lleva necesariamente a su consecución.

Parece oportuno recordar lo que dijera el ingeniero e innovador constructor de maquinaria de precisión, Joseph Whitworth (1803-87):

You can only make as well as you can measure.

Joseph Whitworth
(1803-87)

Museo de Ciencia y Tecnología. Manchester.

Que no significa que sólo podamos alcanzar lo que medimos, sino que

nuestra medida del mundo está determinada por el instrumento que usamos. 

Una maravillosa versión analógica y continua del Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

PD. Olvidaba el caso que más me asombra: El inalcanzable Cero Absoluto (0ºK ó -273 ºC) la temperatura a la que –teóricamente- el Universo se detiene. Pero eso es para otra entrada.

Madrid es España dentro de España


Felipe E. Ramirez PhD – 06.2021

El título de este artículo es bien conocido por los españoles y especialmente por los madrileños que siguen algo la vida política. Fue una frase pronunciada por la Presidenta de la Comunidad de Madrid Isabel Díaz Ayuso en abril de 2021, y fue repetida hasta la saciedad por unos y otros como si de un simple retruécano se tratara; para unos la frase rozaba el absurdo, para otros era una simple hipérbole de la Presidenta.

Pero para un matemático es una sentencia que no debe tomarse a la ligera ya que su valor de verdad depende de un nuevo epíteto con el que la Presidenta ha regalado a España: la infinitud.
Así que aquí va un comentario matemático a la aseveración de la política que carece de todo pudor matemático.

Algunas consideraciones elementales

España” es el país al que nos referimos con ese nombre. “Madrid” es la Comunidad Autónoma del mismo nombre y en cuyo territorio se encuentra la capital de España. Y aunque todos los lugares de Madrid lo son de España, al menos hay un lugar en España que no es Madrid, por ejemplo, Santa Cruz de La Palma, en matemáticas decimos que “Madrid” es una “parte propia” de España o que “Madrid está contenido propiamente en España” o de forma algo más imprecisa, que “Madrid está incluido en España” o que “España incluye a Madrid”; y lo representamos de un modo muy sencillo: si S representa al conjunto “España” y M a “Madrid”, escribimos “M c S”.
Somos así, nos gustan los símbolos.

Por tanto, es obvio que Todo lo que sea atribuible a la Comunidad de Madrid es un atributo de una parte de España, pero no al contrario. Por ejemplo “tener mar” no es un atributo de Madrid, pero sí de España. En cambio “El Peñalara es una montaña española” es tan verdadera como decir que “El Peñalara es una montaña madrileña”. Muy sencillo, es teoría básica de conjuntos. 

Hasta aquí nada revelador. Ahora introduzcamos intuitivamente el concepto de tamaño de un conjunto, signifique eso lo que lo que sea de un conjunto como S o M. No se cómo mediremos los tamaños de los conjuntos, pero seguro que acaba siendo una cuestión de números.

El todo es mayor que la parte

Aristóteles

Estaremos todos conformes en decir que M es más pequeño que S o que M tiene menos elementos que S, si puedo emparejar a cada elemento de M con otro de S y no agoto todos los elementos de S, de los que me sobrarán elementos no emparejados. En cambio, al realizar ese emparejamiento, todos los elementos de Madrid quedarán emparejados.  Este procedimiento es el que nos lleva a decir cosas triviales como que “tengo menos de 10 caramelos en el bolsillo” si al emparejarlos con los dedos de las manos me sobran dedos.

Estas ideas intuitivas y la aparición de los términos “Todo” y “Parte” llevaron a Aristóteles, y con él a toda la Humanidad, a tomar como Principio Universal que: “El todo es mayor que la parte” escrita de muchas otras formas. Nunca hubo discusión sobre la veracidad de esta sentencia: todos decimos al oírla: “Pues claro, es pura lógica”. Aceptar dicho principio como una Verdad Universal es lo “normal”. Y así fue desde al menos los tiempos del estagirita. Así nadie niega que el agua de los ríos de Europa es menor que el agua de los ríos del mundo, que los dedos de las manos son menos que los dedos del cuerpo humano, que los estadounidenses que hablan español, son menos que todos los estadounidenses. Y así cientos y cientos de ejemplos.

Es tal la confianza que depositamos en la regla anterior que históricamente cuando algún científico, matemático o filósofo se ha encontrado en una tesitura en la que parecería que la parte fuera mayor que el todo, el científico, matemático o filósofo se apresuraba en negar la causa que le habría llevado a aceptar dicha falacia universal. Por ejemplo, el osado, irreverente y gran cuestionador de la autoridad, Galileo Galilei se apresuró a desmentirse cuando se vio forzado a aceptar que el todo no es necesariamente mayor que la parte[1]. Es un anatema científico, pero sólo bajo un prisma clásico.

De este modo si nuestro planteamiento es clásico –que no erróneo- la sentencia pronunciada por la política madrileña “Madrid es España dentro de España” viene a concluir que la parte (Madrid) tiene en su interior (dentro de sí) al todo (España). Y siendo Madrid una parte propia de España, la conclusión es necesariamente falsa, de modo que la presidenta no puede decir la verdad porque todos sabemos que el todo ha de ser mayor que la parte, y si el todo (España) a su vez está en la parte (Madrid), parece que nuestra regla se viene abajo; y como Galileo, quizás debamos negar la mayor antes que asumir que pueda darse semejante aberración intelectual. ¿Cómo no a va a ser el todo mayor que una parte?

Punto de vista moderno

Todo lo anterior es correcto si agregamos un sólo atributo –que todos damos por sentado- pero que es determinante para nuestras conclusiones: finito . Si en lo anterior la parte es “finita” y el “todo” es “finito” aunque pueda ser muy grande, la regla aristotélica es verdadera siempre: “El todo finito siempre es mayor que cualquiera de sus partes propias”

Es aquí donde surge la modernidad, el progreso humano en versión revolucionaria que aparece para romper moldes y reglas. Esto ha sucedido muchas veces a lo largo de la historia de las matemáticas, un espacio de conocimiento donde la revolución siempre ha encontrado acomodo. Y de esta forma así pasó hacia el último tercio del siglo XIX en el que se llegó a fundamentar la necesidad de considerar que incluso el Todo ha de ser mayor que la Parte no tiene por qué ser verdadero. Cuando en matemáticas se monta una revolución, es completa y arrasa con todo lo que sea necesario.

Por lo pronto hubo que definir el concepto de “infinito” desde un punto de vista netamente matemático y no filosófico; así se hizo y de varias maneras equivalentes. Una de las definiciones más concisas de infinito que se forjaron fue justamente la que diera George Cantor y es la que ocupa este artículo.

Lo que distingue un conjunto finito de uno que sea infinito es que en el primero la Regla Universal aristotélica se cumple y “El Todo siempre es mayor que la Parte”, mientras que, lo que hace especial a un conjunto infinito, es que el principio lógico aristotélico no se cumple en él y hay partes propias que son iguales al todo (al que pertenecen).

Por tanto: aceptar esta regla anti-lógica o anti-intuición es lo que basta para distinguir un conjunto finito de uno infinito.

Los conjuntos infinitos son exclusivos porque en ellos nuestra “lógica humana” no funciona adecuadamente.

Las reveladoras líneas anteriores son las que dotan de auténtico valor a la sentencia de la Presidenta: “Madrid es España dentro de España” porque lejos de ser una falsedad, el auténtico sentido de la frase es enorme:

Madrid y España son ambos infinitos. Sólo así puede ser que una parte sea como el todo.

Aún más, la escueta frase de la política es una rigurosa definición de Madrid, y por ende de España, nada menos que como conjuntos infinitos: la Presidenta podría firmar un teorema que dijera: “España es infinita y tiene en su interior a Madrid que también lo es”.

Aún así, nos quedaría pendiente por determinar si la garantizada infinitud de Madrid es del mismo tamaño que la infinitud de España. Seguro que en breve la Presidenta encontrará respuesta para ello.


[1] Este problema le surgió a Galileo al comparar la serie de los números enteros y la de los cuadrados perfectos. 

menú integral: Día #6

Suculentos platos integrales

para cada momento del día #6

El menú del día #6 combina la cocina integral de sustitución con platos contundentes.

En el desayuno unas digestivas tostadas de exponenciales a la sustitución.

Para almorzar una deliciosa región delimitada por una función y su tangente. Un plato serio y definitivo.

Y de cena, un escalope a lo vienés a base de trigonométricas.

MathFOOD por Mathmassium cook

Petit-dejéuner #6

Tostadas de exponenciales a la sustitución.


Dejéuner #6

Área plana de región delimitada por una función y su tangente.


Dîner #6

Escalope de trigonométricas elementales



Para la digestión, las soluciones

Petit- dejéuner #6: solución

Dejéuner #6: solución

Dîner #6: solución

Newton por Blake

Para “los de letras”. (¿#@!!%?)


El lienzo con el que W. Blake retratara a (Isaac) Newton le llevó varios años de trabajo, hasta que sobre 1805 lo diera por terminado.
No deja de ser un exclusivo monumento erigido al enemigo. 

Felipe E. Ramirez PhD – 05.2021

Sorprende leer la entrada de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Newton_(Blake) -recogida a continuación- observando el óleo “Newton” retrato que del inmortal inglés, hizo el no menos inmortal poeta y pintor William Blake hacia 1805. 

Newton (Blake) [From Wikipedia, the free encyclopedia]

Newton is a monotype by the English poet, painter and printmaker William Blake first completed in 1795, but reworked and reprinted in 1805. It is one of the 12 “Large Colour Prints” or “Large Colour Printed Drawings” created between 1795 and 1805, which also include his series of images on the biblical ruler Nebuchadnezzar.

Isaac Newton is shown sitting naked and crouched on a rocky outcropping covered with algae, apparently at the bottom of the sea. His attention is focused upon diagrams he draws with a compass upon a scroll.[3] The compass is a smaller version of that held by Urizen in Blake’s The Ancient of Days.

Blake’s opposition to the Enlightenment was deeply rooted. In his annotation to his own engraving of the classical character Laocoön, Blake wrote “Art is the Tree of Life. Science is the Tree of Death.” Newton’s theory of optics was especially offensive to Blake, who made a clear distinction between the vision of the “vegetative eye” and spiritual vision. The deistic view of God as a distant creator who played no role in daily affairs was anathema to Blake, who claimed to regularly experience visions of a spiritual nature. He contrasts his “four-fold vision” to the “single vision” of Newton, whose “natural religion” of scientific materialism he characterized as sterile. Newton was incorporated into Blake’s infernal trinity along with the philosophers Francis Bacon and John Locke.

William Blake (28 de noviembre de 1757 – 12 de agosto de 1827) fue un poeta, pintor y grabador inglés. En gran parte no reconocido durante su vida, Blake es ahora considerado una figura fundamental en la historia de la poesía y las artes visuales de la época romántica. Lo que llamó sus obras proféticas fueron dichas por el crítico del siglo XX Northrop Frye para formar “lo que es en proporción a sus méritos el cuerpo de poesía menos leído en el idioma inglés”.  Su arte visual llevó al crítico del siglo XXI Jonathan Jones a proclamarlo “de lejos el mejor artista que Gran Bretaña ha producido”.

En 2002, Blake ocupó el puesto 38 en la encuesta de la BBC de los 100 británicos más grandes. Mientras vivió en Londres toda su vida, excepto los tres años que pasó en Felpham, produjo una obra diversa y simbólicamente rica, que abrazó la imaginación como “el cuerpo de Dios” o “la existencia humana misma”. Aunque Blake fue considerado loco por sus contemporáneos por sus puntos de vista idiosincrásicos, los críticos posteriores lo tienen en alta estima por su expresividad y creatividad, y por las corrientes filosóficas y místicas subyacentes dentro de su trabajo.

Sus pinturas y poesía se han caracterizado como parte del movimiento romántico y como “prerrománticas”. Un cristiano comprometido que era hostil a la Iglesia de Inglaterra (de hecho, a casi todas las formas de religión organizada), Blake fue influenciado por los ideales y ambiciones de las revoluciones francesa y estadounidense. La singularidad del trabajo de Blake hace que sea difícil de clasificar.

Cuando reparé por primera vez, en mi adolescencia, en este cuadro, puedo asegurar que de ninguna forma imaginé que era un retrato de Newton. Sólo lo averigüé cuando leí el título. Y no. No entendí como el lienzo podría ser un retrato de
Newton, un físico del siglo XVII-XVIII con importantes responsabilidades científicas, universitarias y civiles en una exclusiva sociedad británica. El del cuadro era un hombre desnudo, desprotegido, en un entorno frío, eso sí con un compás. ¿Newton? Será así, Blake lo tituló.

Ciertamente a quién no conozca el título de la obra, le resultará difícil imaginar que sea un retrato de Sir Isaac Newton. Sería oportuno poder preguntar al físico inglés su auto-reconocimiento en el retrato. Me gustaría poder preguntarle:

“Sir Isaac, ¿habría usted pagado a William Blake por ese retrato suyo?”

Un análisis detallado del lienzo de Blake, -no digo el único- no sugiere en el espectador la supuesta animadversión que sentía el pintor por Newton y sus ideas; no parece que lleve al observador a semejante pensamiento, o en otro caso, obliga a apuntar una dosis de enorme de cinismo crónico en la persona de Blake, que también pudiera ser.

Mi propuesta es que, de una mirada atenta al lienzo, se desprende un retrato que ensalza buena parte de lo que Newton, según sus obras, representa para la humanidad. Luego vendrá el juicio del lector, no siempre acorde con el autor.

La obra

La pintura, de dimensiones enormes (6m x 4m), recuerda a los grandes lienzos renacentistas de dimensiones abusivas del Veronés, de Ghirlandaio o del mismo Leonardo.  En un contexto natural, cavernícola y oscuro[1] se presenta una figura de un hombre desnudo sobre el que recae la luz de la escena. Es más, el cuerpo desnudo es la fuente de luz del escenario natural: en un escenario de sombras, aparece a luz. Newton.

Un hombre desnudo, que no parece roto ni por el frio de su desnudez ni por el miedo a su soledad. Su mundo parece estar concentrado en el pergamino sobre el que escribe, anota, dibuja, representa, idealiza. Un universo en el que sus ojos negros[2] se clavan fijamente mientras atienden a lo que su mano crea y …por qué no, lo que su mente atiende.

Seguro de dónde está y de lo que hace, los pies del modelo, pisan con aplomo el lugar en el que se asienta, del mismo modo que los dedos de sus manos obedecen a difíciles posturas técnicamente necesarias para poder hacer uso adecuado del instrumento que sus manos manejan: un compás. Son las posturas monótonamente ensayadas que sólo la experiencia proporciona al artesano, al creador de artefactos y por qué no, al creador de ideas.



La masa de su torso se dibuja con una forma flexible sólo al alcance de los atletas, que consigue que su centro de gravedad se acerque al centro de su persona. Sus largas manos que caen en pesada languidez, su dedo que comprime el papel contra el suelo y sus grandes pies asentados con aplomo en la tierra, nos llevan a interpretar inevitablemente su postura en clave gravitacional, en la que la fuerza que mueve el Universo también comprime al Hombre, atándolo, sujetándolo a la Tierra. Como los héroes clásicos, Newton sabe por dónde pisa, abre con pies seguros el camino que se ha de andar.

La parte de la escena que ocupa la acción de Newton sobre el pergamino nos transporta al clásico retrato de Euclides en la “La Escuela de Atenas” pintada por Rafael de Sanzio hacia 1510.

Euclides. Fragmento de La Escuela de Atenas. Rafael de Sanzio

Compárense la ubicación del pergamino y de la pizarra, de ambos compases, pero, sobre todo, obsérvese como ambos genios cogen el compás exactamente de la misma forma: la mano de Euclides en un escorzo y la de Blake en paralelo al observador; pero la posición de los dedos es la misma. Si Blake no se inspiró en la Escuela para representar a Newton, entonces es que estudió a la perfección como se emplea y sujeta un compás.

Aun cabe una reflexión especulativa en clave psicológica sobre estas dos imágenes.

En el cuadro de Rafael, la escena de Euclides es frontal y por tanto se debe representar con un escorzo; Newton en cambio está representado de perfil., no mira a los ojos del espectador.

Cierto, tampoco lo hace Euclides, pero este último está frente al observador que casi está a la espera de que en un instante el alejandrino levante la mirada y le pregunte “¿Está usted de acuerdo con la demostración?”. El espectador forma parte de los personajes que rodean al maestro, se convierte en el quinto alumno que asiste a su clase.

En cambio, en la pintura de Blake, su protagonista es indiferente a lo que sucede frente a él, al mundo de los reales, el mundo del espectador, el que queda fuera de su “universo”. A Newton no se le ha perdido nada en la dirección del espectador. Su recta mirada apunta al papel. A su obra. A su descubrimiento. Fuera no hay nada.

Resuelta al menos confuso, pensar que este aparente cuidado y perfeccionamiento en cada detalle del retrato de Newton, pueda haber sido ejecutado por uno de sus enemigos intelectuales, William Blake.

Como sabemos, el odio y el amor están íntimamente ligados, como el Yin y el Yan.

El Universo de Newton

El camino que conduce al descubrimiento de los misterios del Universo, se plasman en un pliego sobre el que Newton traza un triángulo[3]. Nada queda al azar: los dedos del inglés complementan las aristas de un tetraedro – el fuego pitagórico y platónico – del que el triángulo dibujado, es su base. 

El compás, está perfectamente escogido. Si Newton, el hombre que descubre los misterios del Universo queda retratado desnudo, es porque armado con un compás, con la geometría, no necesita nada más para comprender lo que el Universo esconde.

Su intervención sobre la Creación se conceptualiza, se condensa en la medida; y qué mejor que simbolizarlo con un compás, un triángulo y un arco. Se presenta una visión newtoniana del Mundo, en el que no se necesita más que la cantidad y la geometría para su explicación.

Con sólo un soporte (el pergamino), un instrumento (el compás) y una abstracción (el triángulo) el pintor retrata a un ser superior, físicamente dotado que gobierna con su mirada y la precisión de sus manos el destino del Universo. Es la mínima expresión de la intervención de la Humanidad en la compresión del Universo que nos recuerda aquel veraz atrevimiento arquimediano: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”.

El universo sobre el que discurre Newton, es un pliego arrollado en sí mismo que adopta, por tanto, la forma de la elegante espiral arquimediana, que a su vez nos recuerda las volutas del orden jónico y por qué no, a las formas de las caracolas del mágico espacio natural del cuadro.

Desde nuestra perspectiva actual, podríamos imaginar que el enrollamiento del lienzo newtoniano, es una referencia a la forma espiral de las galaxias. Sería un asunto de no fácil soporte intelectual, dado que a finales del s. XVIII las nebulosas y las galaxias no existían como entidades, aunque ya comenzaban a entrar en el catálogo astronómico (Herschel o Messier los mencionaban). Kant se refirió a la posibilidad de la existencia de tales objetos hacia 1755. Pero el pergamino sin acabar de desenrollar, anuncia las páginas en blanco aun por escribir por Newton, las páginas de la descripción de las leyes del Universo, que, con él, acaban de empezar a dibujarse.

Este es el gran mensaje de este cuadro. Newton, convertido en el nuevo Adán, el Nuevo Hombre, dueño por designio propio de los instrumentos que le permiten desvelar los secretos del cosmos: el compás, la medida, el número, la geometría, la astronomía. Todo ello en las manos de un simple y solitario Hombre Desnudo.

No me cabe duda que esta obra tuvo que inspirar al historiador que sentenció que Newton

“…no fue el primero de los modernos, sino el último de los clásicos.”

Cuando tras capturar nuestra atención, nos acercamos al cuadro y leemos su título – “Newton”- comenzamos a entenderlo: la visión de un pintor de un filósofo natural al que negaba intelectualmente y del que abominaba.  

Epílogo

El atrevido, pre-surrealista e inclasificable William Blake sigue siendo una fuente de inspiración en nuestros días.

Es autor de una serie de acuarelas denominadas “Las pinturas de El Gran Dragón Rojo”.

La acuarela “El Gran Dragón Rojo y la Mujer revestida en el Sol” de dicha colección es la inspiración del tatuaje y la obsesión del atormentado e inestable asesino de la película El dragón rojo inspirada a su vez en la novela homónima de Thomas Harris; una de las películas de la serie de secuelas inspiradas en la historia de Hannibal Lecter (El silencio de los corderos, J. Denme). Será que Blake conocía el infierno mejor que nadie.


[1] No es menor el recuerdo del entorno de la Virgen de las Rocas (finales del siglo XV) de Leonardo da Vinci.

[2] Ojos muy negros, como es notable en el famoso retrato de un cuarentón Newton (de 1689) debido a Geoffrey Kneller.

[3] Este triángulo es recurrente en la obra de Blake. Por ejemplo en El anciano de los días.

los sistemas dinámicos en un charco

¿Azar? (Navalpotro – Guadalajara) 2020. Autor Felipe E. Ramírez.

Para comprobar la afirmación famosa del meteorólogo E. N. Lorenz –no confundir con el físico H.A. Lorentz- .al respecto del aleteo de la mariposa en Hawai, no hace falta viajar tan lejos ni esperar un ciclón.

Basta con mirar un charco de agua. O mejor, basta con saber mirar a un charco. Es un ejemplo de sistema dinámico.

Nos gusta pensar que el movimiento del agua en un charco obedece a la libertad absoluta. Lamento decirlo pero no es así. Tenemos modelos para casi todo, aunque muchos no son lineales y por tanto requieren cirugía especial para su análisis. Esto nos permite entender que siempre nos falta un trocito de realidad por comprender, lo que deja sitio para la especulación, para Dios y para pensar que el movimiento del agua en una charca goza de la libertad que le proporciona el azar. [pero esto ya ocupará otra entrada]

A los científicos en general, y a los matemáticos especialmente en particular, no nos gusta aburrirnos y como lo sproblemas nos entretienen, la coletilla mas oída es: “…sí bien, pero, y que sucede si…“, de modo que para acabar una partida en matemáticas, hay que dejar un problema cerrado y más que cerrado.

El agua de un charco obedece a movimientos sinusoidales que no son ni mucho menos perfectos, ni simples. Qué bobada. Cada partícula que flote en el charco, cada cambio en la dirección del viento, su profundidad, la existencia de un palito en mitad del agua…cada uno de estos entidades determinan el resultado final de la agitación. Eso nos llevaría a Fourier y sus series, cosa que no vamos a hacer.

Si tu vivieras en el charco de agua, sentirías que no es fácil determinar el estado del “mar” del charco: sería difícil explicar por qué una onda suave, se transforma de repente en un sunami para los animales que habitan en el charco. Igual los insectos del charco tendrían una idea del tipo:

“el movimiento de una aguja de pino en el borde norte del charco hace que tengamos un sunami en la costa este del mismo”.

menú integral: Día #5

Suculentos platos integrales

para cada momento del día #5

El menú del día #5 combina la cocina rápida de recetas sencillas para el desayuno, con algunas de las grandes ideas integrales que no puedes dejar de probar.

En el desayuno una digestiva decostrucción de funciones racionales algebraicas en fracciones simples.

Para almorzar una función integral de polinomios con ceros en el intervalo, una curiosidad para el paladar.

Como cena, un inocente primitiva exponencial que nos hará recordar raros aromas.

MathFOOD por Mathmassium cook

Petit-dejéuner #5

Funciones racionales deconstruidas por grados de sus denominadores.


Dejéuner #5

¿Puede ser una integral definida cero? ¿Puede ser el valor de un área nulo?

Es decir ¿una integral definida siempre proporciona el valor del área de una región?


Dîner #5

¿Puede ser que la parte sea mayor que el todo?.

En las siguientes propuesta, observa los intervalos de integración. determina cual es mayor y cual es menor, y luego compara los valores de la integral definida calculada sobre cada uno de los intervalos.

¿Puedes concluir algo anómalo? ¿Puedes explicarlo?



Para la digestión, las soluciones

Petit- dejéuner #5: solución

Dejéuner #5: solución

Dîner #5: solución

menú integral: Día #4

Suculentos platos integrales

para cada momento del día #4

El menú del día #4 es trigonométrico.

En el desayuno tomaremos tostadas trigonométricas con mermelada de argumentos lineales.

Para almorzar un cachopo de seno y coseno entre 0 y pi cuartos.

Y para la cena compararemos las áreas de los multiplos del seno.


Petit-dejéuner #4

Senos y cosenos con regla dela cadena.


Dejéuner #4

Sabrosa área de sinusoide y cosenoide entre cuartos de pi.

Determinar el área limitada por las funciones seno y coseno (en gris)


Dîner #4

La sinusoide es la gráfica de la función seno.

Si multiplicamos por k el seno, ¿el área también queda multiplicada por k?

Es decir ¿el área del seno es lineal respecto a sus múltiplos? ¿Y el de cualquier otra función?


Se representan las áreas de un “seno” de tres funciones sinusoidales de la forma k·sen(x)

(a) ¿Cuántas veces es mayor el área del seno verde (completo) que el del seno rojo?

(b) ¿Cuántas veces es mayor el área del seno morado (completo) que el seno rojo?

(c) ¿Cuál es el área de la región que se ve pintada de burdeos?

(d) ¿Cuál es el área de la región que se ve pintada de verde?

(e) ¿Cuál es el área de la región que se ve morada?

Para la digestión, las soluciones

Petit- dejéuner #4: solución

Dejéuner #4: solución

Dîner #4: solución